5.1 Zmienna losowa i rozkład prawdopodobieństwa - definicje

Wynikiem doświadczenia losowego może być np. wyrzucenie orła lub reszki podczas pojedynczego rzutu monetą. Wtedy \(S = \{O, R\}\). Zwykle, dla wygody, chcemy, wszystkim możliwym wynikom pewnego doświadczenia losowego przypisać liczby ze zbioru R. W ten sposób określamy funkcję, która nazywana jest w statystyce zmienną losową.

Zmienna losowa to funkcja, która przypisuje zdarzeniom elementarnym (zbiór argumentów funkcji) liczby (zbiór wartości funkcji).

Zmienna losowa jest to funkcja, która elementom przestrzeni zdarzeń elementarnych S przyporządkowuje wartości ze zbioru liczb rzeczywistych R. Zmienne losowe oznaczamy wielkimi literami alfabetu np. X, Y, Z, natomiast konkretne wartości, które zmienna losowa może przyjąć literami małymi, x, y, z.

Zmienne losowe zwykle oznaczamy wielkimi literami z końca alfabetu X, Y, Z etc. Realizacje zmiennej losowej \(X\) możemy oznaczyć np.: \(X = \{x_1, x_2, ...\}\)

Zmienne losowe, w zależności od typu zbioru, który jest ich zbiorem wartości, dzielimy na skokowe lub ciągłe.

5.1.1 Przykład

Wykonaj rzut dwiema monetami i odnotuj liczbę reszek (H). Wszystkie możliwe wyniki przedstawia tabela:

Wynik doświadczenia losowego	TT	HT	TH	HH
Liczba reszek	0	1	1	2

Powyższa tabela definiuje funkcję określoną na zbiorze zdarzeń elementarnych \(S = \{TT, HT, TH, HH\}\) (dziedzina funkcji) i z wartościami ze zbioru \(X = \{0, 1, 2\} \subseteq R\). W ten sposób określona została zmienna losowa X - liczba wyrzuconych reszek podczas rzutu dwiema monetami. Np. dla wyniku \(e = HH\) przyjmuje ona wartość \(x = 2\).

Jeżeli teraz zdefiniujemy nową funkcję \(P(X = x)\) lub po prostu \(p(x)\), w taki sposób, że każdej wartości zmiennej losowej X (argumenty nowej funkcji) przyporządkujemy odpowiednie prawdopodobieństwo jej zajścia, to powiemy, że określona została funkcja rozkładu prawdopodobieństwa lub po prostu rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X.

Rozkład prawdopodobieństwa danej zmiennej losowej jest to funkcja przyporządkowująca wartościom zmiennej losowej prawdopodobieństwa przyjęcia danej wartości przez tę zmienną (zmienna skokowa) lub gęstości prawdopodobieństw odpowiadające poszczególnym wartościom zmiennej (zmienna ciągła).

Rozkład prawdopodobieństwa może być dyskretny (gdy zmienna losowa jest skokowa) lub ciągły (gdy zmienna losowa jest ciągła).

Rozkład prawdopodobieństwa jest to funkcja określona na zbiorze wartości pewnej zmiennej losowej, przypisująca prawdopodobieństwa lub gęstości prawdopodobieństwa wartościom tej zmiennej: \(P: X_S \rightarrow R\)

Dla przykładu, zdarzeniom elementarnym dla rzutu uczciwą monetą można przypisać wartości (zdefiniować zmienną losową) : \(Reszka \rightarrow 1\) i \(Orzeł \rightarrow 0\).

Następnie, dla wartość 0 i 1 zmiennej losowej można określić prawdopodobieństwa (zdefiniować rozkład prawdopodobieństwa) : \(1 \rightarrow 0.5\) oraz \(0 \rightarrow 0.5\).

Rysunek. Konstrukcja zmiennej losowej i rozkładu prawdopodobieństwa.

5.1.2 Zmienna losowa: dyskretna (skokowa) i ciągła

Źródło:…