1.3 Przypomnienie niektórych pojęć z matematyki

1.3.1 Przegląd elementów algebry

1.3.1.1 Równoważność

Istnieją dwa różne typy równości: ** równania ** i ** tożsamości **. Równość \(=\) to nie to samo, co tożsamość \(\equiv\).

Symbol \(\equiv\) pierwotnie oznaczał „jest identycznie równy". Tożsamość to rodzaj równości, która jest zawsze prawdziwa, np .:

\((a+b)^2 \equiv a^2+2ab+b^2.\)

1.3.1.2 Różnice - symbol Delta

Grecka litera \(\Delta\) (duża delta) jest symbolem używanym do oznaczenia różnicy w mierzonej wielkości, zwykle w dwóch różnych momentach.

1.3.1.3 Sumy - symbol Sigma

Użytecznym skrótem oznaczającym sumę jest grecka litera \(\Sigma\) (duża sigma). Załóżmy, że chcemy dodać zestaw pięciu liczb reprezentowanych przez \(x1, x2, x3, x4, x5\). W notacji skróconej zapisalibyśmy sumę jako

\(x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = \sum_{i=1}^{5} x_i\)

gdzie indeks dolny i przy x reprezentuje dowolną liczbę w zestawie. Na przykład, jeśli w systemie jest pięć mas, \(m1, m2, m3, m4, m5\), całkowitą masę systemu \(M = m1 + m2 + m3 + m4 + m5\) można wyrazić jako

\(M = \sum_{i=1}^{5} m_i\)

1.3.1.4 Wartość bezwzględna

Znak wartości bezwzględnej x jest zawsze dodatni, niezależnie od znaku x.

Na przykład, jeśli x = -5, to | x | = 5; jeśli x = 8, to | x | = 8.

1.3.1.5 Podstawowe operacje algebraiczne

Kiedy wykonywane są operacje algebraiczne, obowiązują prawa arytmetyki. Symbole, takie jak x, y i z, są zwykle używane do reprezentowania nieokreślonych wielkości, zwanych niewiadomymi (lub zmiennymi).

Rozważmy równanie

\(8x = 32\)

Jeśli chcemy obliczyć x, możemy podzielić (lub pomnożyć) każdą stronę równanie przez ten sam czynnik bez niszczenia równości. W tym przypadku, jeśli podzielimy obie strony przez 8, otrzymamy

\(\frac{8x}{8} = \frac{32}{8}\)

\(x = 4\)

Ponadto,

\(x + 2 = 8\)

W tego typu wyrażeniach możemy dodać lub odjąć tę samą ilość z każdej strony. Jeśli odejmiemy 2 z każdej strony, otrzymamy

\(x + 2 - 2 = 8 - 2\)

\(x = 6\)

I wreszcie równanie,

\(\frac{x}{5} = 9\)

Dzieląc obie strony przez 5,

\((\frac{x}{5}) \times 5 = 9 \times 5\)

\(x = 45\)

We wszystkich przypadkach, jakakolwiek operacja jest wykonywana po lewej stronie równość należy ją również wykonać po prawej stronie.

1.3.1.6 Kilka przydatnych reguł arytmetycznych

Poniższe zasady dotyczące mnożenia, dzielenia, dodawania i odejmowania należy przypomnieć ułamki, gdzie a, b, c i d to cztery liczby:

Rule Example
Multiplying \((\frac{a}{b})(\frac{c}{d}) = \frac{ac}{bd}\)
Dividing \((\frac{a/b}{c/d}) = \frac{ad}{bc}\)
Adding \((\frac{a}{b}) \pm (\frac{c}{d}) = \frac{ad \pm bc}{bd}\)

1.3.1.7 Potęgi

Mamy następujące reguły:

  1. \(x^nx^m = x^{n+m}\)
  2. \(\frac{x^n}{x^m} = x^{n-m}\)
  3. \(x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}\)
  4. \((x^n)^m = x^{nm}\)

1.3.1.8 Logarytmy

Załóżmy, że wielkość x jest wyrażona jako potęga pewnej wielkości a:

\(x = a^y\)

Liczba a nazywana jest podstawą. Logarytm x w odniesieniu do podstawy a jest równy wykładnikowi, do którego należy podnieść podstawę, aby spełnić wyrażenie \(x = a^y\):

\(y = \log_a x\)

W praktyce dwie najczęściej używane bazy to podstawa 10, nazywana wspólną podstawą logarytmu, oraz podstawa \(e = 2,718 282\), nazywana stałą Eulera lub podstawą logarytmu naturalnego.

Dla dowolnej podstawy:

  • \(\log{(ab)} = \log a + \log b\)
  • \(\log{a/b} = \log a + \log b\)
  • \(\log{a^n} = n \log a\)

Ponadto,

  • \(\ln e\)
  • \(\ln e^a = a\)
  • \(\ln(1/a) = -\ln a\)

1.3.1.9 Wyciąganie wspólnego czynnika przed nawias (Factoring)

Oto kilka przydatnych wzorów do faktoryzacji równania:

  1. \(ax + ay + az = a(x + y + z)\)
  2. \(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\)
  3. \(a^2 + b^2 = (a + b)(a - b)\)

1.3.1.10 Równania liniowe

Ogólna postać równania liniowego

\(y = mx + b\)

gdzie m i b są stałymi. To równanie jest określane jako liniowe, ponieważ wykres y względem x jest linią prostą. Stała b, zwana punktem przecięcia z osią y, reprezentuje wartość y, przy której prosta przecina oś y.

Stała m jest równa nachyleniu prostej. Jeżeli dowolne dwa punkty na prostej są określone współrzędnymi (x1, y1) i (x2, y2), to nachylenie prostej można wyrazić jako

\(Nachylenie = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}\)

Zauważ, że m i b mogą mieć wartości dodatnie lub ujemne. Jeśli \(m > 0\), linia prosta ma dodatnie nachylenie. Jeśli \(m < 0\), prosta ma ujemne nachylenie.

Układy równań

Rozważmy równanie \(3x + 5y = 15\), które ma dwie niewiadome, x i y. Takie równanie nie ma unikalnego rozwiązania.

Na przykład, \((x = 0, y = 3)\), \((x = 5, y = 0)\), i (\(x = 2, y = \frac{9}{5}\)) są wszystkimi parami rozwiązań tego równania.

Jeśli problem ma dwie niewiadome, unikalne rozwiązanie jest możliwe tylko wtedy, gdy mamy dwa równania. Ogólnie rzecz biorąc, jeśli problem ma n niewiadomych, jego rozwiązanie wymaga n równań. Aby rozwiązać dwa równoczesne równania z udziałem dwóch niewiadomych, x i y, rozwiązujemy jedno z równań dla x w odniesieniu do y i podstawiamy to wyrażenie do drugiego równania.

1.3.2 Funkcje

Funkcja ze zbioru A do innego zbioru B to przypisanie jakiegoś elementu B do każdego elementu w A. Funkcja to reguła, która przypisuje każdemu wejściu (input) dokładnie jedno wyjście (output). Nazywamy wyjście obrazem wejścia. Zbiór wszystkich danych wejściowych dla funkcji nosi nazwę dziedziny. Zbiór wszystkich dopuszczalnych danych wyjściowych nazywany jest przeciwdziedziną.

W matematyce funkcja jest relacją binarną między dwoma zbiorami, która wiąże każdy element pierwszego zbioru z dokładnie jednym elementem drugiego zbioru.

Figure 1.1. Function2

Figure 1.2. Function3

Model matematyczny to abstrakcyjna koncepcja, za pomocą której używamy języka matematycznego do opisania zjawisk w otaczającym nas świecie. Modele opisują nasze przekonania na temat funkcjonowania świata. W modelowaniu matematycznym przekładamy te przekonania na język matematyki.

Funkcja może służyć jako prosty rodzaj modelu matematycznego. Pamiętaj, że funkcja to po prostu reguła f, która wyraża zależność jednej zmiennej wielkości y od innej zmiennej wielkości x. Możemy myśleć o regule (podanej jako wykres, formuła lub tabela wartości) jako reprezentacji jakiegoś związku przyczynowo-skutkowego - jeśli x, to y - między dwiema zmiennymi wielkościami.

W przypadku modelu matematycznego często szukamy wzoru algebraicznego, który dokładnie oddaje obserwowane zachowanie i może być użyty do prognozowania zachowania, którego jeszcze nie zaobserwowano.

1.3.3 Trzy podstawowe pojęcia rachunku różniczkowego

  1. Granica funkcji;
  2. Pochodna;
  3. Całka.

1.3.4 Granica funkcji

Granica (limes) funkcji - nieformalnie, wielkość do której wartości danej funkcji zbliżają się nieograniczenie dla argumentów dostatecznie bliskich wybranemu punktowi.

Dla funkcji \(f(x)\) napiszemy: \[\lim_{x \rightarrow c}f(x)=L\]

Powyższy zapis oznacza, że dla ciągu argumentów funkcji \(f(x)\) dążącego do wartości \(c\), liczba \(L\) jest granicą funkcji \(f(x)\).

\[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{1}{x}=0\]

\[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{x}=\infty\]

In mathematics, a limit is the value that a function (or sequence) “approaches” as the input (or index) “approaches” some value. Limits are essential to calculus and mathematical analysis, and are used to define e.g. derivatives, and integrals.

In formulas, a limit of a function is usually written as

\[\lim_{x \to c}f(x)=L\]

and is read as “the limit of f of x as x approaches c equals L”. The fact that a function f approaches the limit L as x approaches c is usually denoted by a right arrow \(\to\), as in:

\[f(x)\to L{\text{ as }}x\to c\] which reads \(f(x)\) tends to \(L\) as \(x\) tends to \(c\).

Figure 1.3. Limits4

1.3.5 Pochodna funkcji

First, a function must be specified that relates one variable to another (e.g., a coordinate as a function of time). Suppose one of the variables is called y (the dependent variable), and the other x (the independent variable). We might have a function relationship such as

\(y(x) = ax^2 + bx + c\)

If a, b, and c are specified constants, y can be calculated for any value of x. We usually deal with continuous functions, that is, those for which y varies “smoothly” with x.

The derivative of y with respect to x is defined as the limit as \(\Delta x\) approaches zero of the slopes of chords drawn between two points on the y versus x curve.

Mathematically, we write this definition as

\[\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to\ 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to\ 0} \frac{y(x + \Delta x) - y(x)}{\Delta x}\] where \(\Delta y = y_2 - y_1\) and \(\Delta x = x_2 - x_1\). Note that \(dy/dx\) does not mean \(dy\) divided by \(dx\), but rather is simply a notation of the limiting process of the derivative (differentiation operator).

A useful expression to remember when \(y = ax^n\), where a is a constant and n is any positive or negative number (integer or fraction), is

\(\frac{dy}{dx} = nax^{n-1}\)

Figure 1.4. Derivative - visual representation5

1.3.6 Całka funkcji

We think of integration as the inverse of differentiation. As an example, consider the expression

1.1 \(f(x) = \frac{dy}{dx} = 3ax^2 + b\)

which was the result of differentiating the function

1.2 \(y(x) = ax^3 = bx + c\)

We can write equation 1.1 as \(dy = f(x)dx = (3ax^2 + b)dx\) and obtain \(y(x)\) by “summing” over all values of x. Mathematically, we write this inverse operation as

\[y(x) = \int f(x) dx\]

\[ y(x) = \int (3az^2 + b)dx = ax^3 + bx + c\]

where c is a constant of the integration. This type of integral is called an indefinite integral because its value depends on the choice of c.

1.3.7 Całka jako pole - intuicyjne wyjaśnienie

For a general continuous function f(x), the integral can be described as the area under the curve bounded by f(x) and the x axis, between two specified values of x, say, \(x1\) and \(x2\), as in the Figure 1.5.

The area of the blue element in Figure 1.5 is approximately \(f(x_i) \Delta x_i\). If we sum all these area elements between \(x1\) and \(x2\) and take the limit of this sum as \(\Delta x_i \to 0\), we obtain the true area under the curve bounded by f(x) and the x axis, between the limits \(x1\) and \(x2\):

\[Area = \lim_{\Delta x_i \to\ 0} \sum_i f(x_i)\Delta x_i = \int_{x_1}^{x_2} f(x)dx\] Integrals of this type are called definite integrals.

Figure 1.5. Definite integral as an area under a curve6

Figure 1.6. Definite integral as an area under a curve7

Figure 1.7. Definite integral as an area under a curve8

1.3.7.1 Summary

Figure 1.8. Summary of basic calulus concepts9

  1. Retrieved from: Sets and Functions. https://mathigon.org/course/sets-and-functions/function-properties↩︎

  2. Retrieved from: Loup Vaillant. http://loup-vaillant.fr/tutorials/from-imperative-to-functional↩︎

  3. Retrieved from: Math24. https://www.math24.net/definition-limit-function/↩︎

  4. Retrieved from: Wikimedia. https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Derivative_-_geometric_meaning.svg↩︎

  5. Retrieved from: Serway, R. A., & Jewett, J. W. (2018). Physics for scientists and engineers with modern physics. Cengage learning.↩︎

  6. Retrieved from: Active Calculus. https://activecalculus.org/single/sec-4-3-definite-integral.html↩︎

  7. Retrieved from: Active Calculus. https://activecalculus.org/single/sec-4-3-definite-integral.html↩︎

  8. Retrieved from: Derivatives on Unequally Spaced Grids. http://cococubed.asu.edu/code_pages/fdcoef.shtml↩︎