4.1 Wprowadzenie

4.1.1 Podstawowe spójniki logiczne

• Negacja, oznaczamy \(\sim\),
• Alternatywa (suma logiczna), oznaczamy \(\vee\),
• Koniunkcja (iloczyn logiczny), oznaczamy \(\wedge\),
• Implikacja, oznaczamy symbolem \(\Longrightarrow\) lub \(\longrightarrow\), np. \(p \longrightarrow q\), czytamy \(p\) implikuje \(q\),
• Równoważność, oznaczamy \(\Longleftrightarrow\).

4.1.2 Zbiory

Zbiory są oznaczane nawiasami klamrowymi \(\{ \}\), na przykład \(A = \{0, 1\}\).

Zbiór jest dowolną kolekcją składającą się z dobrze określonych i rozróżnialnych elementów.

Zbiory oznaczamy wielkimi literami alfabetu, np. \(A, B, C,\) natomiast elementy zbioru małymi literami, np. \(x, y, z\).

Elementy zbioru wypisujemy w nawiasach klamrowych, np. \(A = \{1, 2, 3, 4, ...\}\) lub \(X = \{x \in N: x > 5\}\).

Zbiór jednoelementowy nazywamy singletonem, a zbiór dwuelementowy, np. \(\{a, b\}\) parą nieuporządkowaną. Zbiory \(\{a, b\}\) i \(\{b, a\}\) są równe, gdyż w przypadku zbiorów kolejność występowania elementów nie jest istotna.

Zbiór \(\{a, b\}\) należy odróżnić od ciągu \(\langle a, b \rangle\). Ciągi \(\langle a, b \rangle\) i \(\langle b, a \rangle\) są różne i dlatego ciąg dwuelementowy można nazwać parą uporządkowaną.

Jeśli element \(x\) należy do zbioru \(X\) to piszemy \(x \in X\).

Dwa zbiory są równe, jeśli zawierają dokładnie te same elementy.

Zbiór, który nie zawiera żadnych elementów, nazywany jest zbiorem zerowym lub zbiorem pustym, \(\emptyset\) lub \(\{\}\).

Jeśli każdy element w zbiorze A jest również w zbiorze B, to zbiór A jest podzbiorem zbioru B.

Jeżeli a jest elementem (należy do) zbioru A, to wówczas piszemy symbolicznie: \(a \in A\), natomiast, gdy chcemy wskazać, że a nie należy do zbioru A, to napiszemy \(a \notin A\).

Zbiór lub podzbiór liczb rzeczywistych \(R\) może być wyrażony jako przedział \((-\infty, \infty)\).

Przedział (oznaczony nawiasami zwykłymi) to zbiór liczb rzeczywistych z tą właściwością, że każda liczba znajdująca się między dwiema liczbami w zbiorze jest również zawarta w tym zbiorze.

Przedział liczb między a i b, zawierający liczby a i b, jest często oznaczany jako \([a, b]\) (nawias kwadratowy). Te dwie liczby nazywane są punktami końcowymi przedziału.

Singleton to zbiór zawierający dokładnie jeden element.

UWAGA: W kontekście rachunku prawdopodobieństwa, upewnij się, że rozumiesz różnicę między wynikiem (an outcome) -8 a zdarzeniem (an event) {- 8}, które jest zbiorem składającym się z pojedynczego wyniku −8.

**Liczność* (lub rozmiar) zbioru \(A\), oznaczona \(|A|\), to liczba elementów zbioru. Ta liczba może być skończona lub nieskończona.

Zbiór skończony to zbiór, który ma skończoną liczbę elementów. Innymi słowy, jest to albo

1. zbiór pusty,

2. singleton lub

3. zbiór, którego elementy można wymienić w postaci \({a1, a2, . . . , an}\) dla \(n \in N\).

Zbiór, który nie jest skończony, nazywany jest nieskończonym. Te zbiory mają więcej niż \(n\) elementów dla dowolnej liczby całkowitej \(n\).

Podstawowe zbiory liczbowe:

• zbiór liczb naturalnych \(N = \{0, 1, 2, 3, ...\}\),
• zbiór liczb naturalnych dodatnich \(N^{+} = \{1, 2, 3, ...\}\),
• zbiór liczb całkowitych \(Z = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}\),
• zbiór liczb wymiernych \(Q =\) wszystkie liczby, które możemy przedstawić w postaci ułamka zwykłego \(\frac{p}{q}\) i \(q\) jest różne od \(0\),
• zbiór liczb niewymiernych \(NQ =\) wszystkie ułamki, które mają rozwinięcie dziesiętne nieskończone i nieokresowe, np. liczba \(\pi \approx 3,141592...\), lub liczba oznaczana literą \(e \approx 2,718...\),
• zbiór liczb rzeczywistych \(R = Q + NQ\).

4.1.2.1 Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne

Bardzo ważne jest rozróżnienie między zbiorami nieskończonymi, ale przeliczalnymi, a zbiorami nieskończonymi, ale nieprzeliczalnymi. Co to oznacza?

W przypadku zbiorów przeliczalnych, ich wszystkie elementy możemy ponumerować liczbami naturalnymi. Jednakże, istnieją zbiory, np. zbiór liczb niewymiernych, zbiór liczb R, które są bardziej liczne od zbioru liczb naturalnych, dlatego nie jest możliwe, aby ich elementy ponumerować liczbami 1, 2, 3, 4, …, n.

Niezależnie od tego, czy są one skończone, czy nieskończone, elementy zbioru policzalnego można zawsze policzyć pojedynczo i, chociaż liczenie może nigdy się nie zakończyć, każdy element zbioru jest powiązany z liczbą naturalną. Zbiory policzalne stanowią podstawę gałęzi matematyki zwanej matematyką dyskretną.

Tabela 1.1. Terminologia teorii zbiorów i teorii prawdopodobieństwa (analogie)

Teoria zbiorów	Prawdopodobieństwo
Zbiór	Zdarzenie
Uniwersum	Przestrzeń zdarzeń elementarnych
Element	Zdarzenie elementarne (Outcome, simple event)

Tabela 1.2. Terminologia rachunku prawdopodobieństwa oparta na teorii zbiorów

-	Język zdarzeń
\(A\)	Zaszło zdarzenie A
\(A^c\)	Zaszło zdarzenie przeciwne do A
\(A \cup B\)	Zrealizowało się zdarzenie A lub B (suma zdarzeń)
\(A \cap B\)	Zaszło zdarzenie A i B (iloczyn zdarzeń)

Zbiór, którego nie można policzyć, nazywany jest zbiorem niepoliczalnym (lub zbiorem niepoliczalnie nieskończonym, lub zbiorem ciągłym). Zawiera zbyt wiele elementów, aby można je było policzyć, np. przedział o dodatniej długości: \([0, 1]\).

4.1.3 Podstawowe działania na zbiorach (zdarzeniach)

Na zbiorach można wykonywać różne działania.

Przede wszystkim, definiujemy:

• sumę (\(A\cup B\)),
• iloczyn lub przekrój (\(A\cap B\)),
• różnicę zbiorów (\(B \setminus A\)).

Niech X będzie ustalonym zbiorem. Dopełnieniem zbioru \(A \subseteq U\) do przestrzeni (uniwersum) \(U\) nazywamy zbiór \(A^c = U \setminus A\).

Ponadto, zbiory rozłączne można przedstawić następująco:

Zbiory rozłączne

Np. dla zbiorów \(A = \{\emptyset\} \text{ i } B = \{\{\emptyset\}\}\) powiemy, że zbiór \(A \in B\)

Zbiór \(A\) jest podzbiorem zbioru (zawiera się w zbiorze) \(B\), wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru \(A\) jest jednocześnie elementem zbioru \(B\) (należy do zbioru B). Piszemy wtedy \(A \subseteq B\).

A zawiera się w B

Jeżeli zbiór \(A = \{1, \{2, 3\}, 4\}\) i zbiór \(B = \{\{2, 3\}, 1\}\), to zbiór \(B \subseteq A\).

Natomiast, zbiór \(B = \{\{2, 3\}, 1\} \notin A\)

Za pomocą zbiorów możemy określić zbiory będące przedziałami liczbowymi.

Przedział otwarty: \((a, b) = \{x\in R: x>a \wedge x<b\}\), przedział otwarty lewostronnie: \((a, b] = \{x\in R: x>a \wedge x\leq b\}\).

4.1.4 Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne

Typy zbiorów: przeliczalne i skończone: np. \(A = \{1, 2, 3\}\); przeliczalne i nieskończone, np. zbiór liczb naturalnych N; nieskończone i nieprzeliczalne, np. przedziały liczbowe \((A = [0, 1] = \{x: 0\leq x \leq 1\})\).

Różnica między policzalnymi i niepoliczalnymi zbiorami jest ważna dla statystyki i prawdopodobieństwa.

Bardzo ważne jest rozróżnienie między zbiorami nieskończonymi, ale przeliczalnymi, a zbiorami nieskończonymi, ale nieprzeliczalnymi. Co to oznacza?

Ze względu na matematykę wymaganą do określenia prawdopodobieństw, metody probabilistyczne dzielą się na dwa różne typy, dyskretne i ciągłe. Podejście dyskretne jest stosowane, gdy liczba wyników eksperymentu jest skończona (lub nieskończona, ale policzalna). Podejście ciągłe jest stosowane, gdy wyniki są ciągłe (a zatem nieskończone).

W przypadku zbiorów przeliczalnych, ich wszystkie elementy możemy ponumerować liczbami naturalnymi. Jednakże, istnieją zbiory, np. zbiór liczb niewymiernych, zbiór liczb R, które są bardziej liczne od zbioru liczb naturalnych, dlatego nie jest możliwe, aby ich elementy ponumerować liczbami 1, 2, 3, 4, …, n.

Jeżeli jakaś zmienna statystyczna przyjmuje wartości z dowolnych przedziałów zbioru liczb R, to tę zmienną określamy jako zmienną ciągłą przedziałami. Zmienne, które nie są ciągłe nazywa się zmiennymi dyskretnymi lub skokowymi.

4.1.4.1 WAŻNE

Bycie podzbiorem zbioru (\(\subseteq\) lub \(\subset\)) nie jest tym samym co bycie elementem zbioru (\(\in\)):

\(\subseteq\) \(\neq\) \(\in\)

\(\emptyset \subseteq \emptyset\),

ale \(\emptyset \notin \emptyset\)

\(\emptyset \subseteq \{1,2,3,4,5\}\), \(\emptyset \notin \{1,2,3,4,5\}\)

\(\{3\} \subseteq \{1,2,3,4,5\}\), \(3 \nsubseteq \{1,2,3,4,5\}\),

ale \(3 \in \{1,2,3,4,5\}\)

4.1.5 Zbiór potęgowy (Power set) - dla danego zbioru X zbiór wszystkich jego podzbiorów

Ile podzbiorów ma zbiór A = {a, b, c}?

Liczbę podzbiorów zbioru S określa następująca formuła:

\[2^n\]

gdzie: \(n = |S| =\) liczba elementów zbioru (moc tego zbioru).

Zatem, liczba podzbiorów A jest równa \(2^3 = 8\)

Mamy następujący zbiór (przestrzeń) podzbiorów A:

\[\{ \emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, \{a, b, c\} \}\]

4.1.6 Liczność (moc, kardynalność) zbioru [ang. cardinality]

W matematyce liczność zbioru jest miarą „liczby elementów" zbioru. Na przykład zbiór \(A = \{2,4,6\}\) zawiera 3 elementy, a zatem A ma liczność 3. Począwszy od końca XIX wieku pojęcie to zostało uogólnione na zbiory nieskończone, co pozwala rozróżnić różne typy nieskończoności i wykonywać na nich działania arytmetyczne. Kardynalność zbioru nazywana jest również jego rozmiarem.

Liczność (moc) zbioru A jest zwykle oznaczana jako \(|A|\), z pionową kreską po każdej stronie; jest to ta sama notacja, co wartość bezwzględna, a znaczenie zależy od kontekstu. Liczność zbioru A można alternatywnie oznaczyć np. \(n(A)\), \(\#A\).

Jeśli zachodzi tak zwany aksjomat wyboru, prawo trychotomii obowiązuje dla kardynalności:

1. Każdy zbiór X o liczności mniejszej niż liczebność liczb naturalnych jest zbiorem skończonym.
2. Każdy zbiór X, który ma taką samą liczność jak zbiór liczb naturalnych, jest zbiorem policzalnym nieskończonym.
3. Każdy zbiór X o mocy większej niż liczebność liczb naturalnych jest nazywany nieprzeliczalnym.